Question

4．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）n-3，（n≤7）}\\{{a}^{n-6}，（n＞7）}\end{array}\right.$ 其中a＞0，a≠1，若該數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（2，3）．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，我們可得函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，我們易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此構(gòu)造一個關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論．

解答 解：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）n-3，（n≤7）}\\{{a}^{n-6}，（n＞7）}\end{array}\right.$，數(shù)列是遞增數(shù)列，
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故實數(shù)a的取值范圍是（2，3）
故答案為：（2，3）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)，其中根據(jù)分段函數(shù)中自變量n∈N^*時，對應(yīng)數(shù)列為遞增數(shù)列，得到函數(shù)在兩個段上均為增函數(shù)，且f（7）＜f（8），從而構(gòu)造出關(guān)于變量a的不等式是解答本題的關(guān)鍵．