Question

已知拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓C₂：的右焦點(diǎn)F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），點(diǎn)C在拋物線y²=4x上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡方程；
（2）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)重心G（x，y），C（x′，y′）．則（*）．將（*）代入y²=4x中，得由此可知△ABC重心的軌跡方程為
（2）由y²=4x得F₂（1，0），所以橢圓方程為．設(shè)P（x₁，y₁），由題意得2x₁²+9x₁-18=0，解得（舍）．設(shè)點(diǎn)P到拋物線y²=4x準(zhǔn)線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．由此能夠推導(dǎo)出．
解答：解：（1）設(shè)重心G（x，y），C（x′，y′）．
則整理得（*）
將（*）代入y²=4x中，得
所以，△ABC重心的軌跡方程為（5分）
（2）∵橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，由y²=4x得F₂（1，0），
∴b=8，橢圓方程為．
設(shè)P（x₁，y₁），由得2x₁²+9x₁-18=0，
∴（舍）．
∵x=-1是y²=4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₁．
設(shè)點(diǎn)P到拋物線y²=4x準(zhǔn)線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．
又，
∴，．
過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，
在Rt△PP₁F₁中，，
在Rt△PP₁F₂中，，
∴，
∵，∴．
∴．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．