Question

已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線過橢圓的左頂點與上頂點，故可解出直線與坐標(biāo)軸的交點，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）法一、引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點M的坐標(biāo)，以及點S的坐標(biāo)，又點B的坐標(biāo)已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數(shù)k表示的方程，使其與直線l聯(lián)立，求出點N的坐標(biāo)，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
法二、根據(jù)圖形構(gòu)造出了可用基本不等式的形式來求最值．
（3）在上一問的基礎(chǔ)上求出參數(shù)k，則直線SB的方程已知，可求出線段AB的長度，若使面積為，只須點T到直線BS的距離為即可，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為的直線與橢圓的交點個數(shù)問題，下易證
解答：解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），
上頂點為D（0，1），∴a=2，b=1
故橢圓C的方程為（4分）
（2）依題意，直線AS的斜率k存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而，由得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則得，從而
即，（6分）
又B（2，0）由得，
∴，（8分）
故
又k＞0，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
∴時，線段MN的長度取最小值（10分）

（2）另解：設(shè)S（x_s，y_S），依題意，A，S，M三點共線，且所在直線斜率存在，
由k_AM=k_AS，可得同理可得：又
所以，=不仿設(shè)y_M＞0，y_N＜0當(dāng)且僅當(dāng)y_M=-y_N時取等號，
即時，線段MN的長度取最小值．

（3）由（2）可知，當(dāng)MN取最小值時，
此時BS的方程為，∴（11分）
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，
所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l'上．
設(shè)直線l'：x+y+t=0，則由，解得或．
又因為T為直線l'與橢圓C的交點，所以經(jīng)檢驗得，此時點T有兩個滿足條件．（14分）
點評：本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系中很復(fù)雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好 的理解，且符號運算能力較強(qiáng)才能勝任此類題的解題工作，這是一個能力型的題，好題．