Question

過點(diǎn)（0，1）引x²+y²-4x+3=0的兩條切線，這兩條切線夾角的余弦值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：（法一）：設(shè)切線餓方程為kx-y+1=0，由切線的性質(zhì)可得，圓心（2，0）到直線kx-y+1=0的距離d=1可求k，設(shè)兩直線的夾角為α，代入夾角公式可先求tanα，然后結(jié)合同角基本關(guān)系可求cosα
（法二）：由A（0，1）在圓外可得過A（0，1做圓的切線可作兩條AM，AN，圓心C（2，0），則AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，由兩點(diǎn)間的距離公式可求AC，CM=1，從而有AM²=AC²-CM²，進(jìn)而可求cosβ=，由二倍角的余弦公式cos2β=2cos²β-1可求
解答：解：（法一）設(shè)切線餓方程為y-1=kx即kx-y+1=0
由切線的性質(zhì)可得，圓心（2，0）到直線kx-y+1=0的距離d=
∴k=0或k=-
設(shè)兩直線的夾角為α，則
由直線的夾角公式可得，tanα=
∵1+tan²α==，cosα＞0
∴
（法二）：由A（0，1）在圓外可得過A（0，1做圓的切線可作兩條AM，AN，圓心C（2，0），連接CM，CN，AC
則AM⊥CM，AN⊥CN，∠CAM=∠CAN=β，AC==，CM=1
在Rt△ACM中，AM²=AC²-CM²=2，cosβ==
∴cos2β=2cos²β-1==
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查了直線的夾角公式的應(yīng)用，解法（一）中主要是利用直線與圓相切的性質(zhì)求解出切線的斜率，解法（二）主要是利用了基本圖形及二倍角的余弦．