Question

已知數(shù)列．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將已知關(guān)系式變形得出  （n≥2）由此當(dāng)n≥3．時(shí)，兩式相減并構(gòu)造得出2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，再利用等差數(shù)列定義進(jìn)行判斷證明即可．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出，從而，利用錯(cuò)位相消法求和即可．
解答：解：（Ⅰ）∵．
即，，n≥3．
兩式相減得，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…（3分）
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1（n≥3），即當(dāng)n≥3時(shí)，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，2（a₁+a₂）=a₁-+2，得a₂=，∴b₂=4a₂=2，∴b₂-b₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列…（5分）
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以
所以…（5分）
①
②…（8分）
由①-②得…（10分）
=
∴…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，錯(cuò)位相消法求和，數(shù)列中Sn與a_n關(guān)系的應(yīng)用．需具有轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、論證、計(jì)算等能力．