Question

設函數(shù)f（x）=ax⁵+bx³+c的圖象過點（0，1），當x=1取得極值

13

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．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的單調區(qū)間和極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)條件，建立方程關系即可求f（x）；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)和函數(shù)單調性以及極值關系，即可求f（x）的單調區(qū)間和極值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax⁵+bx³+c的圖象過點（0，1），
∴f（0）=c=1，即c=1，
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=5ax⁴+3bx²，
∵當x=1取得極值

13

15

．
∴f（1）=

13

15

，且f′（1）=0．
即

a+b+1= 13 15 5a+3b=0

，解得a=

1

5

，b=-

1

3

，
則f（x）=

1

5

x⁵-

1

3

x³+1；
（2）∵f（x）=

1

5

x⁵-

1

3

x³+1；
∴f′（x）=x⁴-x²=x²（x²-1），
由f′（x）=x²（x²-1）=0，
解得x=0或x=1或x=-1，
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調遞增，
當-1＜x＜1時，f′（x）≤0，此時函數(shù)單調遞減，
即函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（-1，1），單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），
且當x=-1時函數(shù)取得極大值f（-1）=

13

15

，
當x=1時函數(shù)取得極小值f（1）=

17

15

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性極值和導數(shù)之間的關系，根據(jù)條件求出a，b，c的值是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．