Question

已知點(diǎn)（n，a_n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=-2x-2的圖象上，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n是6S_n與8n的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_n+8n+3，數(shù)列{d_n}滿足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和D_n；
（3）設(shè)g（x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)于任意的正整數(shù)x₁，x₂，恒有g(shù)（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a為常數(shù)，a≠0），試判斷數(shù)列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，用數(shù)列的前n項(xiàng)和求是列的通項(xiàng)公式，注意對(duì)于第一項(xiàng)的驗(yàn)證，又根據(jù)等比中項(xiàng)解決問(wèn)題，這一道題目比較困難，第一問(wèn)考查的內(nèi)容較多．
（2）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列時(shí)按照一般的方式來(lái)整理，整理后發(fā)現(xiàn)結(jié)果比較簡(jiǎn)單，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的和．
（3）本題證明數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列的定義來(lái)證明，只要數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)之差是一個(gè)常數(shù)，問(wèn)題得證，證明是一個(gè)常數(shù)的過(guò)程是一個(gè)數(shù)列和函數(shù)綜合的過(guò)程，用到所給的函數(shù)的性質(zhì)．

解答：解：（Ⅰ）依題意得a_n=-2n-2，故a₁=-4．
又2T_n=6S_n+8n，即T_n=3S_n+4n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=3（S_n-S_n-1）+4=3a_n+4=-6n-2．
又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8，也適合上式，
∴b_n=-6n-2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），
dn+1=cdn=2d_n+1，
因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
∴{d_n+1}是首項(xiàng)為d₁+1=4，公比為2的等比數(shù)列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴d_n=2ⁿ⁺¹-1．
D_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-n=

4(2n-1)

2-1

-n=2n+2-n-4．
（Ⅲ）g(

dn+1

2

)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)
則

g( dn+1 2 )

dn+1

=

g(2n)

2n+1

=

2n-1g(2)+2g(2n-1)

2n+1

=

a

4

+

g(2n-1)

2n

=

a

4

+

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

∴

g( dn+1 2 )

dn+1

-

g( dn-1+1 2 )

dn-1+1

=

a

4

因?yàn)橐阎猘為常數(shù)，則數(shù)列{

g( dn+1 2 )

dn+1

}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，數(shù)列的遞推關(guān)系式往往比通項(xiàng)公式還重要，我們要重視數(shù)列的遞推關(guān)系式，依據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，達(dá)到解決問(wèn)題的目的．