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數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，an2成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數學公式，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：數學公式．

解：（1）由已知：對于n∈N*，總有2Sn=an+an2①成立
∴（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均為正數，∴an-an-1=1（n≥2）∴數列{an}是公差為1的等差數列
又n=1時，2S1=a1+a12，解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）
（2）解：由（1）可知∵
∴
分析：（1）根據an=Sn-Sn-1，整理得an-an-1=1（n≥2）進而可判斷出數列{an}是公差為1的等差數列，根據等差數列的通項公式求得答案．
（2）由（1）知，因為，所以，從而得證．
點評：本題主要考查了等差數列的通項公式和等差數列的性質，考查放縮法．從而綜合考查了學生分析問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有2Sn=an2+an．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設正數數列{cn}滿足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求數列{cn}中的最大項；

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的各項均為正數，它的前n項和為Sn（n∈N*），已知點（an，4Sn）在函數f （x）=x2+2x+1的圖象上．
（1）證明{an}是等差數列，并求an；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an、Sn、（an）2成等差數列．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）設bn=an(
1
2
)n，數列{bn}的前n項和是Tn，求證：
1
2
≤Tn＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}的前n項和為Sn，則下列命題：
（1）若數列{an}是遞增數列，則數列{Sn}也是遞增數列；
（2）數列{Sn}是遞增數列的充要條件是數列{an}的各項均為正數；
（3）若{an}是等差數列（公差d≠0），則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比數列，則S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要條件是an+an+1=0．
其中，正確命題的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•奉賢區(qū)二模）數列{an} 的各項均為正數，a1=p，p＞0，k∈N*，an+an+k=f（p，k）•pn．
（1）當k=1，f（p，k）=p+k，p=5時，求a2，a3；
（2）若數列{an}成等比數列，請寫出f（p，k）滿足的一個條件，并寫出相應的通項公式（不必證明）；
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，設Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1，求Tn．

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