Question

已知橢圓C：的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF₁|=,
|PF₂|= ， PF₁⊥F₁F₂.        
（1）求橢圓C的方程；(6分)
（2）若直線L過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線L的方程.

Answer 1

(1)橢圓C的方程為＝1. (2)所求的直線方程為8x-9y+25=0.

試題分析：(1) ∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,
從而b²=a²－c²="4," ∴橢圓C的方程為＝1.
(2)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,　y₁）、（x₂,　y₂）. ∵圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,　 ∴圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y="k(x+2)+1," 代入橢圓C的方程得
（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.  （*）
又∵A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱.  ∴  解得，
∴直線l的方程為  即8x-9y+25=0. 此時方程（*）的 ，故所求的直線方程為8x-9y+25=0.
解法二：(1)同解法一.
(2)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,　 ∴圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).　由題意x₁x₂且
 ①　　   ②
由①－②得  　③
又∵A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，∴x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,　代入③得＝，即直線l的斜率為，
∴直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25="0." 此時方程（*）的 ，故所求的直線方程為8x-9y+25=0.
點(diǎn)評：中檔題，本題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)用了橢圓的定義。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本解法給出了兩種思路，其中思路1主要是利用韋達(dá)定理，結(jié)合對稱性求得直線方程；思路2則利用了“點(diǎn)差法”求斜率，進(jìn)一步結(jié)合對稱性求得直線方程。