Question

數(shù)列{a_n}的前幾項S_n=n²，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₂=3，b₅=81．
（1）求a₂、a₃
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式
（3）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=n²，分別求出S₁，S₂，S₃，進(jìn)而根據(jù)a₂=S₂-S₁，a₃=S₃-S₂，得到a₂、a₃
（2）根據(jù)n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}的通項公式，由b₂=3，b₅=81，求出等比數(shù)列{b_n}的公比，進(jìn)而可得等比數(shù)列{b_n}的通項公式
（3）利用錯位相減法，可求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項S_n=n²，
∴S₁=1，S₂=4，S₃=9，
∴a₂=S₂-S₁=3
a₃=S₃-S₂=4
（2）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又由n=1時，2n-1=1
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1
等比數(shù)列{b_n}中，∵b₂=3，b₅=81．
∴q³=

81

3

=27
解得q=3
∴等比數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=b₂•q^n-2=3×3^n-2=3^n-1
（3）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1…①
3T_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ…②
①-②得
-2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2
∴T_n=（n-1）3ⁿ+1

點評：本題考查的知識點是數(shù)列求和，等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握求數(shù)列通項公式和數(shù)列求和的方法是解答的關(guān)鍵．