Question

已知函數(shù)f（x）=x²|x-a|（a∈R且a≤

7

3

）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值是1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

3x2-4x，    x≥2 -3x2+4x，  x＜2

，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）解：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值是m，討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)1＜a≤2，③當(dāng)a＞2時(shí)的情況，進(jìn)而求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，∵f（x）=x²|x-2|=

x3-2x2，    x≥2 -x3+2x2， x＜2

，
∴f′（x）=

3x2-4x，    x≥2 -3x2+4x，  x＜2

，
∴f（x）在（-∞，0），（

4

3

，2）遞減，（0，

4

3

），（2，+∞）遞增．
（Ⅱ）解：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值是m
①當(dāng)a≤1時(shí)，在[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x（x-

2

3

a）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
∴m=f（1）=1-a；
②當(dāng)1＜a≤2，m=f（a）=0，
③當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）=ax²-x³，f′（x）=3x（

2

3

a-x），
∵2＜a≤

7

3

，
∴1＜

2

3

a≤

14

9

，
當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f′（x）＞0，從而f（x）為區(qū)間[1，

2

3

a]上的增函數(shù)；
當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）為區(qū)間[

2

3

a，2]上的減函數(shù)．
因此，當(dāng)2＜a≤

7

3

，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2），
當(dāng)2＜a≤

7

3

時(shí)，4（a-2）≤a-1，故m=4（a-2）；
綜上所述，所求函數(shù)的最小值m=

1-a，(a≤1) 0，      (1＜a≤2) 4(a-2)，(2＜a≤ 7 3 )

．
因?yàn)閙=1，
∴a=0或

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道綜合題．