Question

18．如圖，已知三棱錐P-ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分別是AB、PB、PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M為BC中點(diǎn)，且PM⊥平面EFD，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA=PB，D為AB中點(diǎn)，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)可得PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)PM交EF于N，連接DM，DN，由線面垂直的性質(zhì)得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，進(jìn)一步求得PD．即三棱錐P-ABC的高，然后由三棱錐體積公式求得三棱錐P-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交線為AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：設(shè)PM交EF于N，連接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN?平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，
∴N為EF的中點(diǎn)，也是PM的中點(diǎn)，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM為△ABC的中位線，則DM=$\frac{1}{2}AC$=1，∴PD=1．
∵BC⊥AC，則${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC=2$．
∴三棱錐P-ABC的體積${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD=\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．