Question

已知⊙F₁：，，在⊙F₁上取點(diǎn)P，連接PF₂，作出線段PF₂的垂直平分線交PF₁于M，當(dāng)點(diǎn)P在⊙F₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)M形成曲線C．（如圖）
（1）求曲線C的軌跡方程．
（2）過(guò)點(diǎn)F₂的直線l交曲線C于R，T兩點(diǎn)，滿足|RT|=，求直線l的方程．
（3）點(diǎn)Q在曲線C上，且滿足，求．

Answer 1

解：（1）由題意有|PM|=|F₂M|
∴|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4
∴點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓．
其方程為
（2）設(shè)l的方程為，
（若l的斜率不存在，則，，∴|RT|=1，不合題意）
代入x²+4y²-4=0整理有
設(shè)R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）
橢圓右準(zhǔn)線方程為：，離心率．
過(guò)R、T作右準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為R₂、T₂，則
=
∴即
解之有，
∴l(xiāng)的方程為
（3）|QF₁|+|QF₂|=4
∴12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|
而|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF₁|²+|QF₂|²+2|QF₁|•|QF₂|=16
∴12=16-2|QF₁|•|QF₂|-|QF₁|•|QF₂|
∴
∴S_△F1F2Q===．
分析：（1）由題意有|PM|=|F₂M|從而有|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4，根據(jù)橢圓的定義得點(diǎn)M的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓．再寫出其方程即可；
（2）設(shè)l的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用線段的比例關(guān)系即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)三角形中的余弦定理可得12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|而|QF₁|+|QF₂|=4，從而得出
最后利用三角形的面積公式求解即得．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的定義、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、直線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．