Question

求由直線x=1,x=2,y=0及曲線y=圍成的圖形的面積S.

Answer 1

分析:利用求曲邊梯形面積的步驟逐步求解.

解:(1)分割

在區(qū)間［1,2］內(nèi)等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間：［1,］,［,］,…,［,2］,記第i個(gè)區(qū)間為［］(i=1,2,…,n)，其長(zhǎng)度為Δx=

分別過(guò)上述n-1個(gè)點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作ΔS₁,ΔS₂,…,ΔS_n.

則小曲邊梯形面積的和為S=.

(2)近似代替

記f(x)=,當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)=的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它等于.從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊.這樣,在區(qū)間上，用小矩形面積ΔS_i′近似地代替ΔS_i，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔS_i≈ΔS_i′=f(i=1,2,…,n).

(3)求和

小曲邊梯形的面積和S_n=

從而得到S的近似值S=S_n≈

(4)取極限

分別將區(qū)間［1,2］等分成8,16,20,…等份時(shí),S_n越來(lái)越趨向于S,當(dāng)n趨向于+∞時(shí),S_n無(wú)限趨近于.

由此可知圖形面積為.

綠色通道:本題主要考查曲邊梯形面積的求解方法.用分割、近似代替、求和、取極限這四個(gè)步驟可以求曲邊多邊形的面積,它體現(xiàn)了一種化整(分割)為零,積零為整(逼近)的思想方法.