Question

設(shè)t∈[-1，+∞），x=2^-t，y=4^-t+a•2^1+t-1，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x），并求其定義域和值域．

Answer 1

分析：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x），根據(jù)t∈[-1，+∞），可求函數(shù)定義域．
求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點與函數(shù)定義域的關(guān)系進行分類討論（1）當(dāng)

3	a

≥2即a≥8時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)0＜

3	a

≤2即0＜a≤8時，f(x)在(0，

3	a

]上單調(diào)遞減，[

3	a

，2]上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)a=0時，y=x²-1，值域為y∈（-1，3]；當(dāng)

3	a

＜0即a＜0時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，故可求函數(shù)值域．

解答：解：由x=2^-t得t=-log₂x，代入y=4^-t+a•2^1+t-1，得y=4log2x+a•21-log2x-1=x2+

2a

x

-1
定義域為0＜x≤2．
∵y'=2x-

2a

x2

=

2(x3-a)

x2

，（其中令x≠0）
令y′＞0得x＞

3	a

；令y′＜0得x＜

3	a

（1）當(dāng)

3	a

≥2即a≥8時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
∴x=2時，y_min=3+a；x→0時，y→+∞，即值域為y∈[3+a，+∞）
（2）當(dāng)0＜

3	a

≤2即0＜a≤8時，f(x)在(0，

3	a

]上單調(diào)遞減，[

3	a

，2]上單調(diào)遞增，
∴x=

3	a

時，ymin=3a

2

3

-1；x→0時，y→+∞，即值域為y∈[3a

2

3

-1，+∞)．
（3）當(dāng)a=0時，y=x²-1，值域為y∈（-1，3]
（4）當(dāng)

3	a

＜0即a＜0時，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
∴x=2時，y_max=3+a；x→0時，y→-∞，即值域為y∈（-∞，3+a]．
綜上可知，值域y=

[3+a，+∞)，a≥8 [3a 2 3 -1，+∞)，0＜a＜8 (-1，3]，a=0 (-∞，3+a]，a≤0

點評：本題以函數(shù)為載體，考查換元思想，考查函數(shù)的定義域與值域，解題的關(guān)鍵是利用極值點與定義域的關(guān)系，合理進行分類討論．