Question

3．已知四邊形OADB是以向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$為邊的平行四邊形，點C為對角線AB，OD的交點，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}，\overrightarrow{MN}$；
（2）若OA=2，OB=6，MN=1，求平行四邊形OADB的面積．

Answer 1

分析 （1）運用向量的加減運算和平面向量的基本定理，化簡整理即可得到所求；
（2）由題意可得|$\overrightarrow{MN}$|=1=|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$|，兩邊平方，結合向量的數量積的定義，再由平行四邊形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，可得$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
即有$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OB}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{5}{6}$$\overrightarrow$；
由$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CD}$，可得$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$），
即有$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{6}$$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$；
（2）由題意可得|$\overrightarrow{MN}$|=1=|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$|，
即有1=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$²-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow$²=$\frac{1}{4}$×4-$\frac{1}{6}$×2×6cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+$\frac{1}{36}$×36，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
即有sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則平行四邊形OADB的面積為|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=2×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的加減和平面向量的基本定理的運用，考查向量的數量積的定義、性質，考查運算能力，屬于中檔題．