Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成的角等于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB．

Answer 1

證明：因為SN是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，
AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）
連接DM，因為AB⊥DC，AB⊥SC，
所以AB垂直于DC和SC所決定的平面，
又因DM在這個平面內(nèi)，所以AB⊥DM，
∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC，
在△MDC和△NSC中，因為∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，
所以∠DMC=∠SNC=90°從而DM⊥SC，
從AB⊥SC，DM⊥SC，
可知SC⊥截面MAB．
分析：要證明SC垂直于截面MAB，利用三垂線定理以及已知條件，只證明SC⊥AB，SC⊥DM即可．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查邏輯思維能力，是中檔題．