Question

如圖：已知△PAB所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=AB，∠ABC=60°，E為AB的中點．   
（Ⅰ）證明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F為線段PD上的點，且EF與平面PEC的夾角為45°，求平面EFC與平面PBC夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先證明CE⊥平面PAB，再證明CE⊥PA；
（II）以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面EFC的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面EFC與平面PBC夾角的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC為正三角形，
又∵E為AB的中點
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB為平面PAB與平面ABCD的交線，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA=PB，E為AB的中點，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示
設AB=2，則PA=PB=，EP=EA=EB=1，EC=，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，，0），P（0，0，1），D（-2，，0）
設，其中0≤k≤1，則，
∵為平面PEC的法向量，
∴，得k=，
即F是PD的中點，∴F（-1，，）…（9分）
設為平面EFC的法向量，則
 令z=2，得x=1，取，
設為平面PBC的法向量，則 得出
令z₁=1，得，取，
設平面EFC與平面PBC夾角為θ，則cosθ=|cos（）|==…（12分）
點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．