已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),證明:對(duì)任意,總存在,使得.
(1)f(x)在(1,2)單調(diào)遞減函數(shù),f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增函數(shù);(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想,考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn),先對(duì)求導(dǎo),而分子還比較復(fù)雜,所以對(duì)分子進(jìn)行二次求導(dǎo),導(dǎo)數(shù)非負(fù),所以分子所對(duì)函數(shù)為增函數(shù),而,所以在上,在上,所以在為負(fù)值,在上為正值,所以得出的單調(diào)性;第二問(wèn),先對(duì)已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為恒成立,而,即轉(zhuǎn)化為恒成立,再次轉(zhuǎn)化為,通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷的正負(fù).
試題解析:(1) 1分
設(shè),
∴在是增函數(shù),又 3分
∴當(dāng)時(shí), ,則,是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)時(shí), ,則,是單調(diào)遞增函數(shù).
綜上知:在單調(diào)遞減函數(shù),
在單調(diào)遞增函數(shù) 6分
(2)對(duì)任意,總存在,使得恒成立
等價(jià)于恒成立,而,即證恒成立.等價(jià)于,
也就是證 8分
設(shè), 10分
∴在單調(diào)遞增函數(shù),又
∴當(dāng)時(shí),,則
當(dāng)時(shí),,則
綜上可得:對(duì)任意,總存在,
使得. 12分
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;2.恒成立問(wèn)題.
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