Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè),證明：對(duì)任意,總存在,使得.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)在(1,2)單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增函數(shù)；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想、分類(lèi)討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，而分子還比較復(fù)雜，所以對(duì)分子進(jìn)行二次求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，所以分子所對(duì)函數(shù)為增函數(shù)，而，所以在上，在上，所以在為負(fù)值，在上為正值，所以得出的單調(diào)性；第二問(wèn)，先對(duì)已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為恒成立，而，即轉(zhuǎn)化為恒成立，再次轉(zhuǎn)化為，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負(fù).

試題解析：（1）       1分

設(shè),

∴在是增函數(shù)，又                      3分

∴當(dāng)時(shí),  ,則,是單調(diào)遞減函數(shù);

當(dāng)時(shí),  ,則,是單調(diào)遞增函數(shù).

綜上知：在單調(diào)遞減函數(shù)，

在單調(diào)遞增函數(shù)                    6分

（2）對(duì)任意，總存在,使得恒成立

等價(jià)于恒成立,而,即證恒成立.等價(jià)于,

也就是證                               8分

設(shè),              10分

∴在單調(diào)遞增函數(shù),又

∴當(dāng)時(shí),,則

當(dāng)時(shí),,則

綜上可得：對(duì)任意,總存在,

使得.                                12分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.恒成立問(wèn)題.