已知中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線與該橢圓交于P,Q兩點,滿足直線
的斜率依次成等比數(shù)列,
求面積的取值范圍.
(1) ;(2)
.
解析試題分析:(1)先設(shè)出橢圓方程為,再根據(jù)條件離心率為
及橢圓上的點
,代入即可得到橢圓方程;(2)先設(shè)出直線
方程
及
,然后聯(lián)立橢圓方程得到
及
.再由直線
的斜率依次成等比數(shù)列得到
,由
得到
.代入
中及直線
的斜率存在得到
,且
,然后由點到直線的距離公式及兩點間距離公式得到
面積
.最后由基本不等式得到
,從而得到
面積的取值范圍.
試題解析:(1) 由題意可設(shè)橢圓方程為,則
(其中
,
),且
,故
.
所以橢圓的方程為.
(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線
:
,
設(shè),
由,消去
得
,
則,
且,
故,
因為直線的斜率依次成等比數(shù)列,
所以,即
.
又,所以
,即
.
由于直線的斜率存在,且
,得
,且
,
設(shè)為點
到直線
的距離,則
,
,
所以,
故面積的取值范圍為
.
考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì);2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;3.點到直線的距離公式;4.基本不等式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點,記△AOB的面積為S.
(1)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(2)當(dāng)|AB|=2,S=1時,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知動直線與橢圓
相交于
、
兩點. ①若線段
中點的橫坐標(biāo)為
,求斜率
的值;②若點
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證: 直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓:
的左、右焦點分別是
、
,下頂點為
,線段
的中點為
(
為坐標(biāo)原點),如圖.若拋物線
:
與
軸的交點為
,且經(jīng)過
、
兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),
為拋物線
上的一動點,過點
作拋物線
的切線交橢圓
于
、
兩點,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
以點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點的橢圓C經(jīng)過點(1,)。
(I)求橢圓C的方程;
(II)過P點分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A,B,M,N,求證:
使得
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