Question

已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）函數(shù)y的最小正周期；
（2）函數(shù)y的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)解析式整理，然后利用同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式和兩角和公式化簡整理求得函數(shù)f（x）的解析式，進而利用正弦函數(shù)的性質性質求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調性求得函數(shù)遞增時2x+

π

4

的范圍，進而求得x的范圍，即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

解答：解：（1）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，

∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式和兩角和公式化簡求值．考查了學生對三角函數(shù)基礎知識的綜合運用．