Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC．
（1）求證：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若PC=2，求△PBC的面積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直證面面垂直，由題意可得BC⊥平面PAC，故可得證；
（2）由（1）得△PBC是直角三角形，由題意求得PB、BC的長，即可解得．

解答： （1）證明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，
∴PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∵AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC，又∵BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
（2）解：∵△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，PC=2，
∴PA=1，AC=

3

，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC=

6

2

，PB=

12+( 6 2 )2

=

10

2

，
∴S_△PBC=

1

2

×

6

2

×

10

2

=

15

4

．

點評：本題主要考查了線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯證明能力，屬于中檔題．