矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設直線與,與,與的交點依次為.

（1）求以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）

（1）；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：根據(jù)長軸長,短軸長,可求出橢圓的方程；根據(jù)點的坐標可寫出直線的方程，同理也可寫出直線的方程，再求出它們的交點的坐標，驗證在橢圓上即可得證；類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．
試題解析：
根據(jù)題意可知，橢圓的焦點在軸上，可設其標準方程為，
因為長軸長,短軸長，所以，
所以所求的橢圓的標準方程為：．
由題意知，
可得直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立可解得其交點，將的坐標代入橢圓方程成立，即點在橢圓上得證．
另法：設直線、交點，
由三點共線得：                 ①
由三點共線得：            ②
①②相乘，整理可得，即
所以L在橢圓上．
（3）類比（2）的結論，即可得到直線與直線的交點一定在橢圓Q上．
考點：本題考查了直線的方程，橢圓的方程的求解方法，以及直線與圓錐曲線的位置關系．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中，點A、B的坐標分別為，點C在x軸上方。
（1）若點C坐標為，求以A、B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程；
（2）過點P（m，0）作傾角為的直線交（1）中曲線于M、N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數(shù)m的值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不經(jīng)過橢圓上的點，求證：直線的斜率互為相反數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點F是拋物線C：的焦點，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點，且|SF|=.

（Ⅰ）求點S的坐標；
（Ⅱ）以S為圓心的動圓與軸分別交于兩點A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交軸于點E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為，直線l的方程為： 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點
①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；
②已知點，求證：為定值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,右準線且．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與右準線相交于點，試探究在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，且過點.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線C，直線過點且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案