Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2ax3

1+|x|

（a＞0，x∈R），已知區(qū)間A=[

m2

2

，

n2

2

]（m＜n），集合B={f（x）|m≤x≤n}，則使得A=B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞

  1

  4

• B、a≤

  1

  4

• C、0＜a≤

  5

  4

• D、0＜a＜

  5

  4

Answer 1

考點(diǎn)：集合的相等

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先想辦法去掉函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，然后再進(jìn)一步研究函數(shù)的單調(diào)性，從而構(gòu)造出關(guān)于m，n的方程（組），最終轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)判斷問題．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

2ax3

1+x

，結(jié)合a＞0得f′(x)=

6ax2+4ax3

(1+x)2

＞0．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增．
結(jié)合函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（0）=0．
所以f（x）在R上是增函數(shù)．
則結(jié)合已知A=B可得

f(m)= m2 2 f(n)= n2 2

，化簡(jiǎn)得

4a=1+|m| 4a=1+|n|

．
則問題即為方程4a=1+|x|有兩個(gè)互異實(shí)根．
所以只需a＞

1

4

即可．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性來解決集合相等的問題，關(guān)鍵是對(duì)題意的正確理解．