Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l：y=kx+1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（Ⅲ）若曲線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離相等．由拋物線定義能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由得x²-kx-1=0．所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．設(shè)M（x，y），則．因?yàn)镸N⊥x軸，所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由此能證明曲線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行．
（Ⅲ）設(shè)直線l的垂線為l′：．代入y=x²，得．若存在兩點(diǎn)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）關(guān)于直線l對(duì)稱，則，．由此入手能求出k的取值范圍．
解答：（Ⅰ）解：由已知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離相等．
由拋物線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，
直線為準(zhǔn)線的拋物線．
所以曲線C的方程為y=x²．         （3分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由得x²-kx-1=0．
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
設(shè)M（x，y），則．
因?yàn)镸N⊥x軸，
所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
由y=x²，可得y′=2x
所以當(dāng)時(shí)，y′=k．
所以曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率為k，
與直線AB平行．（8分）
（Ⅲ）解：由已知，k≠0．
設(shè)直線l的垂線為l′：．
代入y=x²，可得（*）
若存在兩點(diǎn)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）關(guān)于直線l對(duì)稱，
則，
又在l上，
所以，．
由方程（*）有兩個(gè)不等實(shí)根
所以，即
所以，
解得或．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．