Question

13．已知數(shù)列1，1，2…它的各項由一個等比數(shù)列與一個首項為0的等差數(shù)列的對應(yīng)項相加而得到．求該數(shù)列的前n項和S_n．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，數(shù)列{b_n}的公差為d，列出方程組，求出通項公式，再由S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n），利用分組求和，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，數(shù)列{b_n}的公差為d，
依題意得 0+a₁=1，①，d+a₁q=1，②，2d+a1q2=2，③．
由①②③解得：d=-1，q=2，a₁=1
∴a_n=2^n-1，b_n=1-n
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+2+…+2^n-1）-[0+1+…+（n-1）]
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$
=2ⁿ-1-$\frac{1}{2}$（n²-n）．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，分組求和方法的應(yīng)用．