Question

4．已知b≤2，設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{bx+|a|}{x+1}$在（0，+∞）上是增函數(shù)：命題q：對(duì)?x＞0，x²-（b-|a|+1）x+1≥0恒成立．若滿足p∧q為真命題的實(shí)數(shù)對(duì)為（a，b），求以實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）為坐標(biāo)的點(diǎn)所表示的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a，b的范圍，畫出滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{-1≤a≤1}\end{array}\right.$成立的平面區(qū)域，求出面積即可．

解答 解：若p∧q為真命題，則p，q均為真命題，
已知b≤2，關(guān)于命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{bx+|a|}{x+1}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
若f（x）=b+$\frac{|a|-b}{x+1}$在（0，+∞）遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{b≤2}\\{|a|-b＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{|a|＜b}\end{array}\right.$①；
關(guān)于命題q：對(duì)?x＞0，x²-（b-|a|+1）x+1≥0恒成立，
由①對(duì)稱軸x=$\frac{b-|a|+1}{2}$＞0，
∴只需△=（b-|a|+1）²-4≤0即可，
解得：0＜b-|a|+1≤2②，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a≤1}\\{a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b+a≤1}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜b≤2}\\{-1≤a≤1}\end{array}\right.$，
畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
∴所求平面區(qū)域的面積是：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)問(wèn)題，是一道中檔題．