Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

b

n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 設(shè)Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果對(duì)任意正整數(shù)n，不等式2aSn＜2-

bn

an

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過已知得到關(guān)于數(shù)列的項(xiàng)的兩個(gè)等式，處理方程組得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差數(shù)列的定義得證
（II）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

bn

，求出b_n，a_n．
（III）先通過裂項(xiàng)求和的方法求出S_n，代入2aSn＜2-

bn

an

化簡(jiǎn)得到關(guān)于n的二次不等式恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，通過對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論求出函數(shù)的最大值，令最大值小于0，求出a的范圍．

解答：解：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1①，a_n+1²=b_n•b_n+1②．由②得an+1=

bnbn+1

③．
將③代入①得，對(duì)任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

．
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

．
∴{

bn

}是等差數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

bn

}的公差為d，
由a₁=10，a₂=15．經(jīng)計(jì)算，得b1=

25

2

，b2=18．
∴

b1

=

5

2

2

，d=

b2

-

b1

=3

2

-

5

2

2

=

2

2

．
∴

bn

=

5

2

2

+(n-1)•

2

2

=

2

2

(n+4)．
∴bn=

(n+4)2

2

，an=

(n+3)(n+4)

2

．（9分）
（Ⅲ）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)．∴Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)．
不等式2aSn＜2-

bn

an

化為4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

．
即（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0．
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，則f（n）＜0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．
當(dāng)a-1＞0，即a＞1時(shí)，不滿足條件；
當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，滿足條件；
當(dāng)a-1＜0，即a＜1時(shí)，f（n）的對(duì)稱軸為x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）關(guān)于n遞減，
因此，只需f（1）=4a-15＜0．解得a＜

15

4

，∴a＜1．
綜上，a≤1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列可用的依據(jù)是定義或中項(xiàng)；解決不等式恒成立常通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值．