Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+$\sqrt{3}$與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，解得a，b，c值，可得橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，利用韋達(dá)定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．
理由如下：
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，
并整理，得（k²+4）x²+2 $\sqrt{3}$kx-1=0．（*）
則x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$．
因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
于是-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，解得k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的△＞0，符合題意．
所以當(dāng)k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量垂直的充要條件，難度中檔．