Question

（2012•河南模擬）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=x²-x+1，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足|x-a|＜1，求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分x＜0、0≤x＜

1

2

、x≥

1

2

三種情況，分別去掉絕對(duì)值，求出不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）根據(jù)|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，證得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜0時(shí)，原不等式可化為-2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．
當(dāng)0≤x＜

1

2

時(shí)，原不等式可化為-2x-x＜0，解得x＞0，又∵0≤x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

．
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，原不等式可化為2x-1-x＜1，解得x＜2，又∵x≥

1

2

，∴

1

2

≤x＜2．
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．                       
（Ⅱ）∵f（x）=x²-x+1，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．