Question

已知△P₁OP₂的面積為，P為線段P₁P₂的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP₁、OP₂為漸近線且過點(diǎn)P而離心率為的雙曲線方程.

Answer 1

解析：以O(shè)為原點(diǎn),∠P₁OP₂的角平分線為x軸建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),由e²==1+()²=()²得.

∴兩漸近線OP₁、OP₂方程分別為y=x和y=-x，設(shè)點(diǎn)P₁（x₁,x₁），點(diǎn)P₂（x₂,-x₂）(x₁＞0,x₂＞0),則點(diǎn)P分所成的比λ==2.得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),即（）,又點(diǎn)P在雙曲線=1上.

所以=1,

即（x₁+2x₂）²-(x₁-2x₂)²=9a².

8x₁x₂=9a².                                                                     ①

又|OP₁|=x₁,

|OP₂|=x₂,

sinP₁OP₂=，

∴=|OP₁|·|OP₂|·sinP₁OP₂=·x₁x₂·=，

即x₁x₂=.                                                                    ②

由①②得a²=4,∴b²=9,

故雙曲線方程為=1.