Question

已知圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0的周長(zhǎng)被直線x-y+4=0平分，且圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線l：3x+4y+c=0的距離等于1，則c=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：圓的周長(zhǎng)被直線平分，則直線過(guò)圓心，求出D的值，利用直線和圓的位置關(guān)系建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0的周長(zhǎng)被直線x-y+4=0平分，
∴圓心C（-

D

2

，3）在直線x-y+4=0上，
即-

D

2

-3+4=0，解得D=2，
則圓C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圓C：（x+1）²+（y-3）²=9，圓心（-1，3），半徑r=3，
若圓C上恰有1個(gè)點(diǎn)到直線l：3x+4y+c=0的距離等于1，
則圓心C到直線3x+4y+c=0的距離d=1+3=4，
即

|-3+12+c|

5

=

|c+9|

5

=4，
即|9+c|=20，
解得c=11或c=-29．
故答案為：11或-29

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．