Question

19．設(shè)F₁、F₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點，P為直線$x=-\frac{4}{3}a$上一點，△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形，則此橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 設(shè)直線$x=-\frac{4}{3}a$交x軸于點M，利用△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形，可得|PF₁|=|F₁F₂|，且|PF₁|=2|F₁M|，根據(jù)P為直線x=$-\frac{4}{3}a$上一點，建立方程$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，由此可求橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)直線$x=-\frac{4}{3}a$交x軸于點M，
∵△F₁PF₂是底角為30°的等腰三角形，
∴∠PF₁F₂=120°，|PF₁|=|F₁F₂|，且|PF₁|=2|F₁M|．
∵P為直線x=$-\frac{4}{3}a$上一點，
∴$2（-c+\frac{4}{3}a）=2c$，解得3c=2a，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．