Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，且2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）則$\frac{a_n}{n}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{11}{9}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)2na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*）變形可知na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），進(jìn)而可知數(shù)列{na_n}是首項(xiàng)為1、公差為5的等差數(shù)列，進(jìn)而可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，利用函數(shù)f（x）=（5-4x）x的單調(diào)性計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)?na_n=（n-1）a_n-1+（n+1）a_n+1（n≥2且n∈N^*），
所以na_n-（n-1）a_n-1=（n+1）a_n+1-na_n（n≥2且n∈N^*），
又因?yàn)閍₁=1，a₂=3，
所以（n+1）a_n+1-na_n=na_n-（n-1）a_n-1=…=2a₂-a₁=5，
所以數(shù)列{na_n}是首項(xiàng)為1、公差為5的等差數(shù)列，
所以na_n=1+5（n-1）=5n-4，
所以$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{5n-4}{{n}^{2}}$=$\frac{5-\frac{4}{n}}{n}$=（5-$\frac{4}{n}$）•$\frac{1}{n}$，
記f（x）=（5-4x）x，則函數(shù)y=f（x）圖象是關(guān)于x=$\frac{5}{8}$對(duì)稱、開口向下的拋物線，
由于0＜x≤1，所以f（x）_max=f（$\frac{5}{8}$）=$\frac{25}{16}$，
由于n∈N^*，所以當(dāng)n=2時(shí)$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最大值$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，構(gòu)造新數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．