Question

已知關(guān)于x的不等式k•4^x-2^x+1+6k＜0
（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log₂3}，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log₂3}，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若不等式的解集A⊆{x|1＜x＜log₂3}，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log₂3}≠?，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：令t=2^x，則原不等式可轉(zhuǎn)化為kt²-2t+6k＜0，由1＜x＜log₂3可得2＜t＜3
（1）不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)就是相應(yīng)方程的根，所以方程kt²-2t+6k=0的兩根分別為2和3，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得實(shí)數(shù)k的值；
（2）函數(shù)f（t）=kt²-2t+6k，分k＞0，k=0，k＜0三種情況分別進(jìn)行討論可得實(shí)數(shù)k的取值范圍
（3）原命題題等價(jià)于不等式組：△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥02≤1k先解△≤0，可得符合條件的k的取值范圍．
（4）由A∩{t|2＜t＜3}≠∅可得，先尋求A∩{t|2＜t＜3}=∅的k的范圍，再利用補(bǔ)集進(jìn)行求解

解答：解：（1）由已知得，2和3是相應(yīng)方程kt²-2t+6k=0的兩根且k＞0，k=

2

5

（2）∵A?{x|1＜x＜log₂3}，∴A?{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0
令f（t）=kt²-2t+6k，
當(dāng)k＞0時(shí)，則有 f（2）≤0，f（3）≤0
解得0＜k≤

2

5

當(dāng)k=0時(shí)，A={t|t＞0}顯然滿足條件
當(dāng)k＜0時(shí)，由于x=

1

k

＜0，則只要

f(2)≤0 f(3)＜0

，此時(shí)可得k＜0
綜上可得a≤

2

5

（3）對(duì)應(yīng)方程的△=4-24k²，令f（t）=kt²-2t+6k
則原問(wèn)題等價(jià)于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3
又k＞0，∴k≥

6

6

由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤

1

k

≤3解得

2

5

≤k≤

1

2

綜上，符合條件的k的取值范圍是[

2

5

，+∞）
（4）當(dāng)A∩{t|2＜t＜3}=∅時(shí)可得
若k=0，A={t|t＞0}，符合條件
若k＞0可得

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≤2

或

f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≥3

解不等式組可得，k≥

1

2

或k不存在
即k≥

1

2

時(shí)，A∩{t|2＜t＜3}=∅
0＜k＜

1

2

時(shí)A∩{t|2＜t＜3}≠∅
若k＜0可得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知A∩{t|2＜t＜3}≠∅
綜上可得，k＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與一元二次不等式的關(guān)系，屬于中檔題．解題時(shí)應(yīng)該注意求解過(guò)程中的分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)思想的運(yùn)用．