Question

某校為擴(kuò)大教學(xué)規(guī)模，從今年起擴(kuò)大招生，現(xiàn)有學(xué)生人數(shù)為b人，以后學(xué)生人數(shù)年增長(zhǎng)率為4.9‰．該校今年年初有舊實(shí)驗(yàn)設(shè)備a套，其中需要換掉的舊設(shè)備占了一半．學(xué)校決定每年以當(dāng)年年初設(shè)備數(shù)量的10%的增長(zhǎng)率增加新設(shè)備，同時(shí)每年換掉x套的舊設(shè)備．
（1）如果10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)更換的舊設(shè)備是多少套？
（2）依照（1）的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設(shè)備？下列數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)參考：

1.19≈2.36	1.00499≈1.04
1.110≈2.59	1.004910≈1.05
1.111≈2.85	1.004911≈1.06

Answer 1

分析：（1）求出10年后該校學(xué)生的合格實(shí)驗(yàn)設(shè)備，再利用10年后該校學(xué)生的人均占有設(shè)備的比率正好比目前翻一番，即可得到每年應(yīng)更換的舊設(shè)備的套數(shù)；
（2）利用

1

2

a÷

a

32

=16年，即可求得全部更換舊設(shè)備需要的時(shí)間．

解答：解：（1）10年后學(xué)生人數(shù)為b（1+4.9‰）¹⁰=1.05b．
又設(shè)今年起學(xué)校的合格實(shí)驗(yàn)設(shè)備為數(shù)列{a_n}，則a₁=1.1a-x，a_n+1=1.1a_n-x，（*）
令a_n+1+λ=1.1（a_n+λ），則a_n+1=1.1a_n+0.1λ，與（*）式比較知λ=-10x，
故數(shù)列{a_n-10x}是首項(xiàng)為1.1a-11x，公比為1.1的等比數(shù)列，
所以a_n-10x=（1.1a-11x）•1.1^n-1，所以a_n=10x+（1.1a-11x）•1.1^n-1．
∴a₁₀=10x+（1.1a-11x）•1.1⁹≈2.6a-16x．
由題設(shè)得

2.6a-16x

1.05b

=2×

a

b

，解得x=

1

32

a．
即每年更換舊設(shè)備為

1

32

a套．
（2）全部更換舊設(shè)備需

1

2

a÷

a

32

=16年．
即按此速度全部更換舊設(shè)備需16年．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的建立，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．