已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．
（1）設(shè)P（m，2m），由題可知MP=2，M（2，0），所以（2m）2+（m-2）2=4，解之得m=0，m=
4
5
．
故所求點P的坐標為P（0，0）或（
4
5
，
8
5
）．  …（4分）
（2）設(shè)P（m，2m），則
PA
•
PB
=|
PA
|2cos∠PAB．
又|
PA
|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2
∠PAB
2
=1-
2
PM2
，
∴
PA
•
PB
=|
PA
|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-
2
PM2
)=PM2+
2
PM2
-3．…（7分）
又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[
16
5
，+∞)，
∴
PA
•
PB
=|
PA
|2cos∠PAB=PM2+
2
PM2
-3=(PM-
2
PM
)2-1∈[
33
40
，+∞)，
故
PA
•
PB
的最小值
33
40
．                                  …（10分）
（3）證明：設(shè)P（m，2m），MP的中點Q(
m
2
+1，m)，
因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為(x-
m
2
-1)2+(y-m)2=m2+(
m
2
-1)2，
化簡得x2+y2-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故
x2+y2-2x=0
-x-2y+2=0
解得
x=2
y=0
或
x=
2
5
y=
4
5
.

所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點（2，0）和(
2
5
，
4
5
)．         …（16分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M的方程為：x2+y2-2x-2y-6=0，以坐標原點為圓心的圓N與圓M相內(nèi)切．
（1）求圓N的方程；
（2）圓N與x軸交于E、F兩點，圓內(nèi)的動點D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，求
DE
•
DF
的取值范圍；
（3）過點M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點，且直線MA和直線MB的傾斜角互補，試判斷直線MN和AB是否平行？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008屆第一次六校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)文科試卷(廣州深圳中山珠�；葜�) 題型：044

解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟

已知圓M的方程為：(x＋3)2＋y2＝100及定點N(3，0)，動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線交圓M的半徑MP于Q點，設(shè)點Q的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)試問：過點T()是否存在直線l，使直線l與曲線C交于A，B兩點，且，(O為坐標原點)若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省連云港市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）（解析版） 題型：解答題

已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求的最小值；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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