Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，對(duì)角線AC⊥BD，且A（0，0），B（4，0）
（1）求點(diǎn)C的軌跡M；
（2）過(guò)點(diǎn)B的直線l交軌跡M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：AE⊥AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接設(shè)C（x，y）（x≠0），則D（0，y），由AC⊥BD，由斜率之際為-1，或向量的數(shù)量積為0，
直接可求得點(diǎn)C的軌跡方程，再由方程確定軌跡即可．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），AE⊥AF?x₁x₂+y₁y₂=0．故只需聯(lián)力方程、消元、維達(dá)定理糾結(jié)即可．
解答：解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)C（x，y）（x≠0），
則D（0，y），=（x，y），=（-4，y）∵⊥，⇒y²=4x（x≠0）
∴所求的軌跡M是除去頂點(diǎn)的拋物線
（2）當(dāng)直線l垂足x軸時(shí)，命題顯然處理，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-4）（k≠0）
聯(lián)立y²=4x⇒k²x₂-（8k²+4）x+16k²=0，；設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
則x₁+x₂=；x₁x₂=16而y₁y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，則AE⊥AF
點(diǎn)評(píng)：本題考查直接法求軌跡方程、直線和拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題、考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想．