Question

2．已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（2，y₀）在拋物線(xiàn)C上，且|DF|=3，直線(xiàn)y=x-1與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由拋物線(xiàn)的定義，可得$2+\frac{p}{2}=3$，解可得p=2，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案；
（2）聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，消去y得x²-6x+1=0，進(jìn)而設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=6，結(jié)合拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，可得|AB|的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得O到直線(xiàn)y=x-1，進(jìn)而由三角形面積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，D（2，y₀）在拋物線(xiàn)y²=2px，上且|DF|=3
由拋物線(xiàn)定義得$2+\frac{p}{2}=3$，∴p=2
故拋物線(xiàn)的方程為y²=4x；
（2）由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得x²-6x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6；
∵直線(xiàn)y=x-1過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F，
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8
又O到直線(xiàn)y=x-1的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴△ABO的面積$S=\frac{1}{2}|AB|d=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，涉及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)求出其標(biāo)準(zhǔn)方程．