Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，a₁=2，bn=

9

10

(n+2)(an-1)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}中最大項．

Answer 1

分析：（I）由方程（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0化簡得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0，所以兩邊除以a_n-1，得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），而a₁-1=1，{a_n-1}就是首項為1，公比為

9

10

的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n的通項公式，然后研究{b_n}的單調(diào)性，從而求出n取何值時，b_n取最大值，以及最大值．

解答：解：（I）由方程（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
顯然由a₁=2，則a_n顯然不是常數(shù)列，且不等于1，所以兩邊除以a_n-1，
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0．
整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
又a₁-1=1，{a_n-1}就是首項為1，公比為

9

10

的等比數(shù)列．
∴a_n-1=(

9

10

)n-1
∴a_n=(

9

10

)n-1+1；
（Ⅱ）bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)×(

9

10

)n
∴b_n+1-b_n=(n+3)×(

9

10

)n+1-(n+2)×(

9

10

)n=

7-n

10

×(

9

10

)n
∴{b_n}在[1，7]上單調(diào)遞增，在[8，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)n取7或8，{b_n}取最大值，最大值為9×(

9

10

)7．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的判定，以及數(shù)列的最值和數(shù)列的單調(diào)性的判定，是一道綜合題，有一定的難度