Question

（本小題滿分12分）

  如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，

，，分別為

的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：四邊形是平行四邊形；

（Ⅱ）四點(diǎn)是否共面？為什么？

（Ⅲ）設(shè)，證明：平面平面；

Answer 1

（Ⅱ）四點(diǎn)共面

解析:

【解1】：（Ⅰ）由題意知，

所以又，故

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點(diǎn)共面。理由如下：

由，是的中點(diǎn)知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又點(diǎn)在直線上

所以四點(diǎn)共面。

（Ⅲ）連結(jié)，由，及知是正方形

故。由題設(shè)知兩兩垂直，故平面，

因此是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

【解2】：由平面平面，，得平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

（Ⅰ）設(shè)，則由題設(shè)得

所以

于是

又點(diǎn)不在直線上所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點(diǎn)共面。理由如下：由題設(shè)知，所以

又，故四點(diǎn)共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即又，所以平面

故由平面，得平面平面

【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中直線與直線的位置關(guān)系，四點(diǎn)共面問(wèn)題，面面垂直問(wèn)題，考察了空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力；

【突破】：熟悉幾何公理化體系，準(zhǔn)確推理，注意邏輯性是順利進(jìn)行解法1的關(guān)鍵；在解法2中，準(zhǔn)確的建系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，熟悉向量的坐標(biāo)表示，熟悉空間向量的計(jì)算在幾何位置的證明，在有關(guān)線段，角的計(jì)算中的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。