Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，Sn=n2+2n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）記Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，通過檢驗a₁是否適合上式，可求
（II）由（I）可得

1

a1a2

=

1

4×5

，當(dāng)n≥2時，

1

anan-1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂項可求數(shù)列的和

解答：解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=4，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
又a₁=4不適合上式，
∴an=

4，   n=1 2n+1，  n≥2

（II）∵

1

a1a2

=

1

4×5

，
當(dāng)n≥2時，

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴Tn=

1

4×5

+

1

2

(

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

20

+

1

2

(

1

5

-

1

2n+3

)=

3

20

-

1

2(2n+3)

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解數(shù)列的通項公式，注意對n=1時的檢驗；及利用裂項求解數(shù)列的和，要注意裂項時的系數(shù)

1

2

不要漏掉