Question

【題目】已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn).

（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】試題分析：（1）將直線的點(diǎn)斜式方程（其中斜率為參數(shù)）代入橢圓方程，并設(shè)出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，消去Y后，可得一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）易得A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，再由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，，構(gòu)造方程，即可求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的方程．（2）由M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們易給出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后代入平面向量數(shù)量集公式，結(jié)合韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系），不難不求出的值．

試題解析:

(Ⅰ)依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

將代入，消去整理得，

．

設(shè)， ，

則，

由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，

得，

解得，適合（）．

所以直線的方程為，或．

(Ⅱ)①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

由（I）知， ．（），

所以，

．

將（）代入，整理得：

，

．

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)， 的坐標(biāo)分別為、，

此時(shí)亦有．

綜上， ．