Question

已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（ II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=3處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出導(dǎo)函數(shù)的根，求出函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)的兩個根處的函數(shù)值及區(qū)間的兩個端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，從幾個函數(shù)值中選出最大、最小值即可．

解答：解：（ I）a=2時，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切線方程為y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
當(dāng)a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當(dāng)a＞1時，
①1＜a≤2時，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3時，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以當(dāng)2＜a＜

23

9

時，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
當(dāng)

23

9

≤a＜3時，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3時，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

綜上所述：f(x)max=

9 2 - 3 2 a(a≤ 23 9 ) 2 3 (a＞ 23 9 )

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，應(yīng)該先利用導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)的根對應(yīng)的函數(shù)值及區(qū)間的端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，選出最值即可．