已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax（a≤0），
(1)若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
(2)討論f（x）的單調(diào)性；
(3)證明：（n∈N*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。
解：（1），
∵x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
則，
∴a=0，驗(yàn)證知a=0符合條件；
（2），
1）若a=0時(shí)，
∴f（x）在上單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
2）若，得當(dāng)a≤-1時(shí)，對(duì)x∈R恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
3）若-1＜a＜0時(shí)，由，
∴，
再令，可得，
∴上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
綜上所述，若a≤-1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減；
若-1＜a＜0時(shí)，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；
若a=0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減。
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈時(shí)，由，
∴，
∴
，
∴。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線(xiàn)l：y=kx-2與曲線(xiàn)y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線(xiàn)l∥AB，則稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“伴侶切線(xiàn)”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱(chēng)直線(xiàn)AB存在“中值伴侶切線(xiàn)”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AB是否存在“中值伴侶切線(xiàn)”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線(xiàn)y=f（x）相切，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線(xiàn)C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l，使得l為曲線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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