Question

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，則b+

1

a2

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，畫圖分析a、b所滿足的條件，把b代入b+

1

a2

后借助于基本不等式求最值．

解答： 解：由-2≤x²+ax+b≤1，得：

x2+ax+b+2≥0 x2+ax+b-1≤0

，作圖如下：

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素，
∴

a2-4(b+2)≤0 a2-4(b-1)=0

，解得b=1+

a2

4

，
∴b+

1

a2

=1+

a2

4

+

1

a2

≥1+2

a2 4 × 1 a2

=2（當(dāng)且僅當(dāng)a²=2，b=

3

2

時(shí)取“=”），
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解決的關(guān)鍵是由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一個(gè)元素得到a和b的關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．