Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，點A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁A⊥BC；
（Ⅱ）當側棱AA₁和底面成45°角時，求二面角A₁-AC-B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D為側棱A₁A上一點，當為何值時，BD⊥A₁C₁．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）證明A₁A⊥BC，只需證明BC⊥平面A₁OA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°，過O作OE⊥AC于E，連接A₁E，則∠A₁EO為二面角A₁-AC-B的平面角；
（Ⅲ）過D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC，要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC；
解法二：以O點為原點，OC為x軸，OA為y軸，OA₁為z軸建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）由題意知∠A₁AO=45°，A₁O=3，用坐標表示點與向量．根據•=0，可得結論；
（Ⅱ）求出面ACA₁的法向量n₁=（，1，1），面ABC的法向量為n₂=（0，0，1），利用向量的夾角公式，即可求得結論．
（Ⅲ）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，要使BD⊥AC，須•=0，由此可得結論．
解答：解法一：（Ⅰ）證明：連接AO，∵A₁O⊥面ABC，BC?面ABC
∴A₁O⊥BC
∵AO⊥BC，A₁O∩AO=O
∴BC⊥平面A₁OA
∵A₁A?平面A₁OA
∴A₁A⊥BC．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°
由底面是邊長為2的正三角形，可知AO=3，∴A₁O=3，AA₁=3
過O作OE⊥AC于E，連接A₁E，則∠A₁EO為二面角A₁-AC-B的平面角…6分
∵OE=，∴tan∠A₁EO=…9分
即二面角A₁-AC-B的大小余弦值為．

（Ⅲ）解：過D作DF∥A₁O，交AO于F，則DF⊥平面ABC，∴BF為BD在面ABC內的射影，
又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即證BF⊥AC，
∴F為△ABC的中心，∴…8分

解法二：以O點為原點，OC為x軸，OA為y軸，OA₁為z軸建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）證明：由題意知∠A₁AO=45°，A₁O=3．
∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A₁（O，0，3），B（-，0，0）．
∵=（0，-3，3），=（2，0，0）
∴•=0×2+（-3）×0+3×0=0．
∴AA₁⊥BC．…4分
（Ⅱ）解：設面ACA₁的法向量為n₁=（x，y，z），
則
令z=1，則x=，y=1，∴n₁=（，1，1）…6分
而面ABC的法向量為n₂=（0，0，1）…8分
cos（n₁，n₂）=
又顯然所求二面角的平面角為銳角，
∴所求二面角的大小為…9分
（Ⅲ）解：A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可，設AD=a，則D（0，3-a，a）
又B（-，0，0），則=（-，3-a，a），=（，-3，0）．
要使BD⊥AC，須•=3-3（3-a）=0，
得a=2，而AA₁=3，∴A₁D=，
∴…13分．
點評：本題考查線線垂直，考查面面角，利用兩法并舉，體現向量法的優(yōu)越性，注意體會．