Question

【題目】我們把離心率e= 的雙曲線 =1（a＞0，b＞0）稱(chēng)為黃金雙曲線．如圖是雙曲線 =1（a＞0，b＞0，c= ）的圖象，給出以下幾個(gè)說(shuō)法： ①若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
②若F1 ， F2為左右焦點(diǎn)，A1 ， A2為左右頂點(diǎn)，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③若MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2且MN⊥F1F2 ， ∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確命題的序號(hào)為 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①b2=ac，則e= = = ， ∴e2﹣e﹣1=0，解得e= ，或e= （舍），
∴該雙曲線是黃金雙曲線，故①正確；
②如圖，F(xiàn)1 ， F2為左右焦點(diǎn)，A1 ， A2為左右頂點(diǎn)，
B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，
∴B1F12+B1A22=A2F12 ， 即b2+2c2=（a+c）2 ，
整理，得b2=ac，由①知該雙曲線是黃金雙曲線，故②正確；
③如圖，MN經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F2且MN⊥F1F2 ， ∠MON=90°，
∴NF2=OF2 ， ∴ =c，∴b2=ac，
由①知該雙曲線是黃金雙曲線，故③正確．
所以答案是：①②③．