Question

（2009•昆明模擬）某射手向一個(gè)氣球射擊，假定各次射擊是相互獨(dú)立的，且每次射擊擊破氣球的概率均為

1

4

．
（I）若該射手共射擊三次，求第三次射擊才將球擊破的概率；
（II）給出兩種積分方案：
方案甲：提供三次射擊機(jī)會(huì)和一張700點(diǎn)的積分卡，若未擊中的次數(shù)為ξ，則扣除積分128ξ點(diǎn)．
方案乙：提供四次射擊機(jī)會(huì)和一張1000點(diǎn)的積分卡，若未擊中的次數(shù)為ξ，則扣除積分256ξ點(diǎn)．
在執(zhí)行上述兩種方案時(shí)規(guī)定：若將球擊破，則射擊停止；若未擊破，則繼續(xù)射擊直至用完規(guī)定的射擊次數(shù)．
問：該射手應(yīng)選擇哪種方案才能使積分卡剩余點(diǎn)數(shù)最多，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)A_i表示第i次將球擊破，則P=P（

.

A1

•

.

A2

•A3），由此能求出第三次射擊才將球擊破的概率．
（II）對(duì)于方案甲，積分卡剩余點(diǎn)數(shù)η_甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3；對(duì)于方案乙，積分卡剩余點(diǎn)數(shù)η_乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4．分別求出Eη_甲和Eη_乙，能得到結(jié)果．

解答：解：（I）設(shè)A_i表示第i次將球擊破，
則P=P（

.

A1

•

.

A2

•A3）=

3

4

×

3

4

×

1

4

=

9

64

．（5分）
（II）對(duì)于方案甲，積分卡剩余點(diǎn)數(shù)η_甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
由已知可得P（ξ=0）=

1

4

，
P（ξ=1）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，
P（ξ=2）=（

3

4

）²×

1

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=（

3

4

）³=

27

64

．
故Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3×

27

64

=

111

64

．
故Eη_甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
對(duì)于方案乙，積分卡剩余點(diǎn)數(shù)η_乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
由已知可得P（ξ=0）=

1

4

，
P（ξ=1）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，
P（ξ=2）=（

3

4

）²×

1

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=（

3

4

）³×

1

4

=

27

256

，
P（ξ=4）=（

3

4

）⁴=

81

256

∴Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3

27

256

+4×

81

256

=

525

256

．
故Eη_乙=E（1000-256ξ）=1000-Eξ=475．（11分）
故Eη_甲＞Eη_乙，
所以選擇方案甲積分卡剩余點(diǎn)數(shù)最多．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．