Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

sn

n

}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和s_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

 （n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）通過將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；即可推出數(shù)列{

sn

n

}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和s_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=

1

2

，

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

 （n∈N^*），推出得

bn+1

n+1

=

bn

n

+2^n-1，利用累加法直接求解數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）證明：將a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；
整理得

sn+1

n+1

=2•

sn

n

 （n∈N^•）．
又由已知

s1

1

=1，
所以數(shù)列{

sn

n

}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論可得

sn

n

=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1
當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2
由已知，a₁=1，又當(dāng)n=1時(shí)，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）．
（3）由

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

（n∈N^*）．
得

bn+1

n+1

=

bn

n

+2^n-1，
由此式可得

bn

n

=

bn-1

n-1

+2n-2，

bn-1

n-1

=

bn-2

n-2

+2n-3，
…

b3

3

=

b2

2

+21，

b2

2

=

b1

1

+20
把以上各等式相加得，

bn

n

=b1+2+22+…+2n-2=2n-1-

1

2

（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n=n2n-1-

1

2

n（n∈N^*，n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)也符合，所以b_n=n2n-1-

1

2

n．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．